แหล่งเรียนรู้ที่1 ระบบเลขฐานและตรรกศาสตร์

ระบบเลขฐานประกอบด้วยเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 เลขฐาน 10 เลขฐาน 16

ระบบเลขฐาน 2 (Binary Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยเลข 2 ตัว ได้แก่เลข 0 กับ เลข 1 ซึ่งเป็นเลขฐานที่คอมพิวเตอร์สามารถเข้าใจได้ง่าย เพราะว่าอุปกรณ์ทางไฟฟ้าก็มีสถานะเพียง 2 สถานะ คือ เปิด กับ ปิด ซึ่งก็เทียบได้กับ 0 กับ 1

ระบบเลขฐาน 8 (Octal Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยเลข 8 ตัว ซึ่งประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ซึ่งเป็นเลขฐานที่เพิ่มเนื้อที่หน่วยความจำในการเก็บให้มากขึ้น การเก็บข้อมูลเป็นเลขฐาน 8 จะทำให้เก็บข้อมูลได้มากขึ้น

ระบบเลขฐาน 10 (Decimal Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว ซึ่งประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ซึ่งระบบเลขฐาน 10 เป็นระบบเลขฐานที่คนทั่วไปสามารถเข้าใจได้เป็นอย่างดี เพราะเป็นตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันซึ่งใช้มาตลอด สามารถจำได้และคำนวณได้ง่ายกว่าเลขฐานอื่น

ระบบเลขฐาน 16 (Hexadecimal Number System) เป็นเลขฐานที่ประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัวและตัวอักษรแทนตัวเลขอีก 6 ตัว ซึ่งประกอบด้วยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และตัวอักษรภาษาอังกฤษแทน 10 ถึง 15 ได้แก่ A, B, C, D, E, F ซึ่งก็จะเก็บข้อมูลได้มากกว่าระบบเลขฐาน 2 ฐาน 8

การแปลงค่าเลขฐาน
การคำนวณ
     1. การแปลงค่าเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานสอง  ฐานแปด  และฐานสิบหก  สามารถคำนวณได้จาก การหารสั้นด้วยเลขฐานที่ต้องการแปลงค่า  แล้วนำผลลัพธ์และเศษที่ได้มาเรียงต่อกันจากล่างขึ้นบน

            

           

          

  2. การแปลงเลขฐานสอง  ฐานแปด  และฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสิบ  สามารถคำนวณได้ จากการนำเลขฐานที่ต้องการแปลงในหลักนั้นมาคูณกับค่าประจำหลักของฐาน  สามารถคำนวณได้ จากการนำเลขฐานที่ต้องการแปลงในหลักนั้นมาคูณกับค่าประจำหลักของฐาน  แล้วนำแต่ละหลักมารวมกัน

  3. การแปลงค่าเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปด แปลงเลขฐานสองแต่ละกลุ่มให้เป็นเลขฐานสิบ  จากนั้นจึงนำตัวเลข  ที่ได้มาเรียงต่อกัน  ซึ่งการแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบนั้นสามารถคำนวณได้จากข้อ  2  หรือเทียบจากตารางเลขฐาน

   4. การแปลงค่าเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบหก  สามารถคำนวณได้จากการแบ่งกลุ่มเลขฐานสอง กลุ่มละสี่หลักจากด้านขวาไปด้านซ้าย  แล้วแปลงเลขฐานสองแต่ละกลุ่มให้เป็นเลขฐานสิบ  จากนั้นนำตัวเลขที่ได้มาเรียงต่อกัน 

     5. การแปลงค่าเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสอง  สามารถคำนวณได้จากการแบ่งเลขฐานแปดทีละหลักแปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองสามหลักด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐาน  หากเลขฐานสองนั้นมีไม่ถึงสามหลัก  ให้เติม  0  ด้านหน้าของหลักนั้น  แล้วจึงนำค่าที่ได้มาเรียงต่อกัน

    6. การแปลงค่าเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบหก  สามารถคำนวณได้จากการบ่งเลขฐานแปดทีละหลักแปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐาน  แล้วนำเลขฐานสองที่ได้แปลงให้เป็นเลขฐานสิบหกอีกครั้งหนึ่ง

   7. การแปลงค่าเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสอง  แปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสองสี่หลักด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐานหากเลขฐานสองนั้นมีไม่ถึงสี่หลักให้เติม 0  ด้านหน้าของหลักนั้นแล้วจึงนำค่าที่ได้มาเรียงต่อกัน

   8. การแปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานแปด สามารถคำนวณได้จากการแปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสอง  แล้วแปลงจากเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปดอีกครั้งหนึ่ง

การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานอื่นๆ

http://www.youtube.com/watch?v=_BnNPWY35Z4 

 

  ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ที่มาhttp://www.youtube.com/watch?v=4ai4OsR_kFk

  

ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์

คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น “ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์ การใช้เหตุผล

วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ

1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล”

2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”

3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ” 

ประพจน์ (Proposition)

     ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้นประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ 

  

 

ประโยคเปิด (Open sentence)

บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง

ตัวเชื่อม (connective)
1. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน Ùและเขียนแทนด้วย P Ù Qแต่ละประพจน์มีค่าความจริง(truth value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้าทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่า PÙQ เป็นจริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริงP Ù Q

2. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P V Q

จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง เราให้นิยามค่าความจริงของ P V Q

3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน ® และเขียนแทนด้วยP®Q

นิยามค่าความจริงของ P®Q

4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทนด้วย P«Q 

นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P«Q

5. นิเสธ (Negation) ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ Pด้วย ~P ถ้า P เป็นประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกัน P

สัจนิรันดร์ (Tautology) และความขัดแย้ง (Contradiction)

1. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology statement)ตัวอย่างที่ 1 P® PvQเป็นสัจนิรันดร์ เราสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี

2.ความขัดแย้ง (Contradiction) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบ เป็นความขัดแย้ง เรียกว่า ประพจน์ความขัดแย้ง

ทฤษฎีตรรกสมมูล (Logical Equivalences)

ความรู้ประพจน์ตรรกะสมมูล (Logical equivalent statement)มีประโยชน์มากสำหรับการหาข้อโต้แย้งและข้อสรุปในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วการสรุปเหตุผลในแต่ละรูปจะยุ่งยากมากหากไม่อาศัยทฤษฎี ตรรกะสมมูลในการกล่าวอ้าง ดังนั้นจึงสรุปทฤษฎีตรรกะสมมูลไว้สำหรับใช้อ้างอิงต่อไปกำหนดให้ p , q , r แทนประพจน์ใดๆ t แทนสัจนิรันดร์ c แทนความขัดแย้ง

1. กฎการสลับที่ (Commutative laws)

2. กฎการเปลี่ยนหมู่ (Associative laws)
3. กฎการแจกแจง (Distributive laws)
4. กฎเอกลักษณ์ (Identity laws)
5. กฎนิเสธ (Negative laws)
6.กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double negative laws)
7. กฎนิจพล (Idempotent laws)
8. กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws)
9. กฎการจำกัดขอบข่าย (Universal bound laws)
10. กฎการซึมซับ (Absorption laws)
11. นิเสธของ c และ t

ตัวบ่งปริมาณ(Quantified statement)

  มี 2 ชนิด คือ   
1) ตัวบ่งปริมาณ "ทั้งหมด" หมายถึงทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องการพิจารณาในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมาย
2) ตัวบ่งปริมาณ "บาง" หมายถึงบางส่วนหรือบางสิ่งบางอย่างที่ต้องการพิจารณา ในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกันได้ ได้แก่"บางอย่าง" "มีอย่างน้อยหนึ่ง"

การให้เหตุผล (Reasoning)
โดยทั่วไปกระบวนการให้เหตุผลมี 2 ลักษณะคือ
1.การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุ โดยนำข้อความที่กำหนดให้ ซึ่งต้องยอมรับว่าเป็นจริง ทั้งหมด เรียกว่า เหตุ และข้อความจริงใหม่ที่ได้เรียกว่า ผลสรุป ซึ่งถ้า พบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้ แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

2.การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือ คำพยากรณ์และจะต้องมีข้อสังเกต หรือ ผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย

สรุป

ระบบเลขฐานประกอบด้วยเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 เลขฐาน 10 เลขฐาน 16
การแปลงค่าเลขฐาน
1. การแปลงค่าเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก สามารถคำนวณได้จาก การหารสั้นด้วยเลขฐานที่ต้องการแปลงค่า แล้วนำผลลัพธ์และเศษที่ได้มาเรียงต่อกันจากล่างขึ้นบน
2. การแปลงเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสิบ สามารถคำนวณได้ จากการนำเลขฐานที่ต้องการแปลงในหลักนั้นมาคูณกับค่าประจำหลักของฐาน แล้วนำแต่ละหลักมารวมกัน
3. การแปลงค่าเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปด สามารถคำนวณได้จากการแบ่งกลุ่มเลขฐานสอง
กลุ่มละสามหลัก จากด้านขวาไปด้านซ้ายแล้วแปลงเลขฐานสองแต่ละกลุ่มให้เป็นเลขฐานสิบ จากนั้นจึงนำตัวเลข
ที่ได้มาเรียงต่อกัน ซึ่งการแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบนั้นสามารถคำนวณได้จากข้อ 2 หรือเทียบจากตารางเลขฐาน
4. การแปลงค่าเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบหก สามารถคำนวณได้จากการแบ่งกลุ่มเลขฐานสอง กลุ่มละสี่หลักจากด้านขวาไปด้านซ้าย แล้วแปลงเลขฐานสองแต่ละกลุ่มให้เป็นเลขฐานสิบ จากนั้นนำตัวเลขที่ได้มาเรียงต่อกัน
5. การแปลงค่าเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสอง สามารถคำนวณได้จากการแบ่งเลขฐานแปดทีละหลัก แปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองสามหลักด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐาน หากเลขฐานสองนั้นมีไม่ถึงสามหลัก ให้เติม 0 ด้านหน้าของหลักนั้น แล้วจึงนำค่าที่ได้มาเรียงต่อกัน
6. การแปลงค่าเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบหก สามารถคำนวณได้จากการบ่งเลขฐานแปดทีละหลัก แปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐาน แล้วนำเลขฐานสองที่ได้แปลงให้เป็นเลขฐานสิบหกอีกครั้งหนึ่ง
7. การแปลงค่าเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสอง สามารถคำนวณได้จากการแบ่งเลขฐานสิบหกทีละหลัก แปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสองสี่หลักด้วยการเปรียบเทียบจากตารางเลขฐาน หากเลขฐานสองนั้นมีไม่ถึงสี่หลัก ให้เติม 0 ด้านหน้าของหลักนั้นแล้วจึงนำค่าที่ได้มาเรียงต่อกัน
8. การแปลงเลขฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานแปด สามารถคำนวณได้จากการแปลงเลขฐานสิบหกให้เป็น เลขฐานสอง แล้วแปลงจากเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปดอีกครั้งหนึ่ง 


“ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น “ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์ การใช้เหตุผล
.........................................................................................................................................................................................................

แบบทดสอบ
1. จงแปลง (11011)₂ ให้เป็นเลขฐานสิบ ?
2. จากเลขฐานสิบ 189 นี้ทำให้เป็นเลขฐานสองจะมีค่าเท่าไร
3. แปลงเลขฐานสิบ 115 เป็นเลขฐานสอง
4. แปลงเลขฐานสิบ 45 เป็นเลขฐานสอง

ขอบคุณข้อมูลจาก...
http://www.seekan.ac.th/it_com/lesson_02_3.html
http://logic-computer.blogspot.com/
http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C
http://www.tewlek.com/anet-logic.html